UN PODEROSO NÚMERO 0

La siguiente anécdota fue relatada por el escritor y divulgador matemático Charles Seife en su libro "El cero: biografía de una idea peligrosa".

El 21 de septiembre de 1997, el acorazado Yorktown bordeaba las costas de Virginia cuando quedó detenido en medio de las aguas. Este acorazado estaba preparado para resistir el ataque de un torpedo o la explosión de una mina, pero no estaba preparado para el ataque de un 0.

En el Yorktown se había instalado un nuevo programa informático que controlaba las máquinas. Por desgracia, nadie detectó la bomba que se había instalado y que representaba un 0 en los códigos, un 0 que debía haber sido borrado durante la instalación y que, sin saber el por qué, quedó escondido y olvidado en el código. 

Cuando el programa intentó dividir por 0 los 80.000 caballos de potencia del buque se originó el colapso del ordenador y los motores quedaron inutilizados. Tres horas fue lo que se tardó en reactivar los controles de emergencia del motor y poder llevar al buque al puerto más cercano. Los ingenieros tardaron dos días en extraer el 0 del programa y dejar el buque de nuevo operativo.

TRIGONOMETRÍA - LA FÓRMULA DE MOLLWEIDE

Habitualmente para la resolución de triángulos se suele recurrir al teorema del seno y al teorema del coseno. Ocasionalmente podemos usar también el teorema de la tangente.

Hoy hablaremos de la fórmula de Mollweide.

Las ecuaciones de Mollweide, del alemán Karl Mollweide, son dos ecuaciones que relacionan los lados y los ángulos de un triángulo. El interés de estas ecuaciones, a diferencia de las del seno y coseno, está en que en ella aparecen los seis elementos del triángulo: los tres lados y los tres ángulos.

Sean a, b, y c las longitudes de los tres lados del triángulo, y sean α, β, y γ los ángulos opuestos a cada uno de los lados respectivamente. Las fórmulas de Mollweide establecen que:

HUMOR MATEMÁTICO - REGLA DE TRES

LOS PITAGÓRICOS Y LAS MATEMÁTICAS

En el siglo VI a.C. Pitágoras y sus discípulos enseñaban que todo esta dispuesto según los números, aunque estos se circunscriben a los números enteros, y dentro de ellos, a los números naturales. Las fracciones se consideraban simplemente como ratios entre números naturales, por ello fue una decepción enorme cuando descubrieron que la raíz de 2, la hipotenusa de un cuadrado de lado la unidad, no podía expresarse como un ratio entre dos números naturales.

Los pitagóricos, según el testimonio de Anatolio, obispo de Leodicea hacia el año 280, fueron los primeros en utilizar el nombre de "matemáticas", que era considerada como "la Ciencia", lo cual es comprensible si se piensa que para ellos las matemáticas eran el conocimiento de los números y de las figuras geométricas, aspectos considerados a su vez como la esencia de la realidad.

Pitágoras y sus discípulos descubrieron la relación existente entre la distancia de una cuerda y el sonido que produce su tañido. Notaron que si una cuerda dada se acortaba a 1/2 de su longitud inicial, el tono producido era una octava mayor que el preliminar. De ahí que las cuerdas que mantienen la proporción 1:2 produzcan sonidos que conservan la armonía.

En cuanto al teorema que porporciona la relación de los tres lados de un triángulo rectángulo (la suma de loa cuadrados de los catetos al igual al cuadrado de la hipotenusa), teorema que lleva el nombre de Pitágoras, parece ser que éste se lo apropió de los babilonios, quienes ya lo aplicaban a la resolución de problemas. Los babilonios también conocían las ternas pitagóricas, esas iguadades de la forma x²+y²=z² que permiten duplicar cuadrados.

Lo que sí fue descubierto por los pitagóricos fua la representación triangular del 10, que denominaron tetraktys.

En cualquier caso, las ideas pitagóricas, la creencia de que el número lo permea todo, que todo se basa en los números, han sobrevivido hasta nuestros días y siguen inlfuyendo en el pensamiento actual, tanto en el científico como en el más propio del extrarradio de la racionalidad.

HUMOR MATEMÁTICO - CAMPO DE GOLF SOBRE CINTA DE MOEBIUS

MÁS DE 200 EXPERTOS EN MATEMÁTICAS SE REÚNEN EN CÁDIZ

Un total de 220 investigadores y docentes procedentes de Europa y América se reúnen estos días en Cádiz, en el XXIV Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones y XIV Congreso de Matemática Aplicada, que ayer se inauguró en la Facultad de Filosofía y Letras.

Este congreso internacional, que se desarrollará hasta el viernes 12, es el evento más importante que organiza, con carácter bienal, la Sociedad Española de Matemática Aplicada.

En sus vigésimo cuarta y duodécima ediciones intervendrán prestigiosos conferenciantes, con un significativo plantel de comunicaciones y un amplio número de sesiones especiales, donde se cubren temas de interés en la investigación matemática actual: Ecuaciones en derivadas parciales, ecuaciones diferenciales ordinarias, análisis numérico y simulación numérica; Control y optimización; Álgebra lineal numérica; Sistemas dinámicos y matemáticas aplicadas a la industria.

El profesor Alfio Quarteroni, de la École Polytechnique de Lausanne y Università Politécnico di Milano, "uno de los matemáticos más brillantes y de talla mundial", según el Comité Organizador, pronunció la conferencia de apertura Reduced order models: algorithms and applications, en la que explicó la relevancia de la transferencia de sus investigaciones en campos como la aeronáutica y la cirugía, entre otros.

HEXAEDROS (CUBOS) HASTA EN LA SOPA

El cubo o hexaedro es uno de los poliedros más utilizados a lo largo de la historia. 

La forma cúbica es común incluso en los concentrados de sopa. Los terrones cúbicos de azúcar son un clásico, pero que la sopa haya terminado con forma cúbica resulta sorprendente.

Se dice que el capitán Cooke en 1772 se llevó "sopas trasladables" en formas cúbica, pero la fecha clave fue en 1838. Ese año Carl Heinrich Knorr fundó una compañía que se dedicaba en un principio al café y que terminó especializándose en sopas compactadas que pudieran disolverse en agua caliente.

Knorr hizo primero sopas en tabletas, pero el éxito lo alcanzó con las sopas en forma de salchicha. Las sopas se cortaban a trozos, de forma similar al embutido, e incluso se comían a rodajas. La forma cúbica llegó en 1912 y, desde aquella época, muchas han sido las empresas que han producido cubos o tabletas para sopas.

La técnica utilizada, basada en comprimir, compactar, moler, granular y secar, es una actividad comercial aplicable a productos farmacéuticos, químicos o alimentarios.

UN NUEVO PROBLEMA DE MATEMÁTICAS INUNDA LAS REDES

En Reino Unido es necesario hacer una especie de selectividad para obtener el Certificado General de Educación Secundaria (GCSE), que es necesario para estudiar Bachillerato y acceder a la mayoría de trabajos.

La prueba, a la que se enfrentan estudiantes de entre 14 y 16 años, tiene preguntas estandarizadas. Y una de las que han caído este año en el examen de matemáticas ha causado una gran polémica entre los alumnos.

Este es su enunciado:

"Hannah tiene 6 caramelos naranjas y algunos caramelos amarillos. En total tiene n caramelos.
La probabilidad de que coja 2 caramelos naranjas es de ⅓.
Prueba que n²-n-90=0"

A los alumnos que se enfrentaban al examen les pareció tan difícil que no tardaron en quejarse en Twitter y hacer todo tipo de memes.

No se trata de un problema muy difícil, aunque puede resultar extraña el hecho de que se pida probar esa igualdad. Quizás hubiera resultado más común preguntar por el número de caramelos amarillos, aunque el desarrollo implicaría además resolver la ecuación, posiblemente estuvieran más acostumbrados a ese tipo de enunciado.

Analizamos a continuación la solución del problema.

Se trata de un problema de un experimeto compuesto.
La probabilidad de extraer el primer caramelo rojo sería de 6/n.
La probabilidad de extraer el segundo carmelo rojo, si el primero ha sido rojo es 5/(n-1).
La probabilidad de que los dos sean rojos será, por tanto, 6/n · 5/(n-1).
Si multiplicamos las fracciones la probabilidad es de 30/( n²-n)=1/3
Por tanto: n²-n-90=0.

Si resolvemos la ecuación las soluciones son n=10, n=-9. Tomando la solución positiva obtenemos que tiene en total 10 caramelos, 6 rojos y 4 amarillos.

CITAS CÉLEBRES: MATEMÁTICAS Y JUEGOS

"No hay ninguna rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real."

N. Lobachevsky

"Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida."

John von Neumann

"La vida merece ser vivida para jugar a los más bellos juegos y ganar en ellos."

Platón

"Aunque pocas cosas hay más interesantes que los pasatiempos, por lo que representan de desafío al ingenio y a la capacidad de razonar, la función que desempeñan estos juegos no es sólo recreativa; como señaló J. E. Littlewood, un buen pasatiempo matemático puede aportar más a la matemática que una docena de artículos mediocres."

Martin Gardner

"¿Dónde acaba el juego y empieza la matemática seria. Para muchos, la matemática, mortalmente aburrida, no tiene nada que ver con el juego. En cambio, para la mayoría de los matemáticos, nunca deja de ser un juego, aunque, además, pueda ser muchas otras cosas."

Miguel de Guzmán

"Las nueve décimas partes de las matemáticas, aparte de aquellas que tienen su origen en las necesidades de orden práctico, consisten en la resolución de adivinanzas."

Jean Dieudonné

"La competencia es la madre de la ciencia... y de la vida. Competencia y cooperación nos hacen quienes somos."

Erwin Neher

EL AZAR: LAS BARAJAS

Un instrumento utilizado habitualmente para generar situaciones de azar (de ahí la multitud de juegos diferentes) son las barajas. Hay dos grandes tipos, las llamadas española e inglesa. Ambas han calado hondo en el imaginario colectivo, porque son, como todos los grandes juegos, modelos de situaciones sociales reconocibles.

La baraja española es una estilización de la sociedad medieval, con cuatro palos, oros, copas, espadas y bastos, que representan a los cuatro estamentos fundamentales de la misma: la burguesía (o comerciantes, con el oro de las monedas); el clero (con la copa de las celebraciones litúrgicas); la nobleza (con la espada de los caballeros) y el campesinado (con el basto o la estaca que usan en sus trabajos manuales). Tiene 40 cartas, con 10 en cada palo, de las que 3 (sota, caballo y rey) son las figuras.

La baraja inglesa es una estilización del paso del tiempo, concretada en lo que pasa en un año. Los 4 palos representan las 4 estaciones; como en cada uno hay 13 cartas, en total son 4 · 13 = 52 cartas, como las 52 semanas de un año. Si se suman los números de cada palo (1+2+3+....+12+13=91), se multiplica por los cuatro palos y se le suma el comodín se obtiene 365 (4 · 91 + 1 = 365), que con los 365 días del año.

EL ORIGEN DEL NÚMERO e

La constante e fue hallada por el suizo Jakob Bernoulli al estudiar el siguiente problema de interés compuesto:

Si se invierte 1 € a un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, al cabo del periodo se obtendrán 2 €. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés por 2 (el 50% semestral), la cantidad obtenida es 1 € multiplicado dos veces por 1.5, es decir:

Si se pagan los intereses en 4 periodos trimestrales y dividimos por 4 la tasa de interés anual (25% trimestral), al cabo del año se obtendrán:

En caso de pagos mensuales el capital acumulado asciende a:

Al aumentar el número de periodos de pago n veces (que tiende a crecer indefinidamente) y dividir por n la tasa de interés en el periodo, la cantidad total obtenida por 1 € al cabo del año sería

Dando valores crecientes a n, Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima a:

De aquí que en matemática financiera el número e se defina como el capital límite acumulado mediante una inversión de 1 € con una tasa de interés compuesto del 100% anual con un pago de intereses de forma continua. El primer matemático que dio esta constante el nombre de e fue Leonard Euler en 1727.