TOBIA RAVA - VENEZIA

Tercera entrega de la obra de Tobia Ravá. 

Si las dos anteriores eran buenas, en mi opinión esta es posiblemente la mejor. Las calles de Venecia vistas bajo un universo de números.

CASTILLOS DE ARENA GEOMÉTRICOS

Llega el verano y las playas de llenan de gente y, como no, de castillos de arena. ¿Quién no ha hecho alguna vez alguno?

De los castillos simples que solemos ver se ha pasado a verdaderas obras de arte. En esta entrada os muestro algunas de las realizadas por el artista neoyorkino Calvin Seibert.

En estas obras se mezcla la simplicidad con la belleza de la geometría.

Visto en www.huffingtonpost.es

TOBIA RAVA - FACE

El artista italiano estudió en la Escuela Internacional de Artes Gráficos de Venecia y Urbino, y después obtuvo el grado en Semiología del Arte por la Universidad de Bolonia (donde fue discípulo, entre otros, de Umberto Eco). Este artista empezó a pintar en 1971 y sus primeras exposiciones son de 1977, y desde entonces han recorrido todo el mundo (Italia, Bélgica, Croacia, Francia, Alemania, España, Brasil, Argentina, Japón o Estados Unidos). En sus obras nos encontramos en particular con iconografía hebraica y con los números indo-arábigos.

 

Considerado, al menos por los matemáticos, como un verdadero artista “pitagórico”. Un artista que lleva hasta el extremo la máxima pitagórica de que “el número es la esencia de todas las cosas”. Recordemos que Pitágoras y los pitagóricos soñaban con poder captar la esencia del universo bajo la forma de números enteros, imaginándose que mediante los mismos podían explicarse todos los misterios del universo, de todas las cosas.

En las obras de Tobia Ravà todo es número (y también símbolos hebreos). Las calles están formadas por números, los ríos, las paredes de las casas, los árboles, el suelo, el cielo, los puentes, las personas,… todo está construido por números. Es hacia el año 1996 cuando empieza a realizar cuadros de paisajes naturales, de paisajes urbanos, de interiores de casas, de mujeres,… realizados con números (y algún símbolo hebreo). Lleva esta técnica hasta el límite…

TOBIA RAVA - PERSPECTIVES FUGHE

El artista italiano estudió en la Escuela Internacional de Artes Gráficos de Venecia y Urbino, y después obtuvo el grado en Semiología del Arte por la Universidad de Bolonia (donde fue discípulo, entre otros, de Umberto Eco). Este artista empezó a pintar en 1971 y sus primeras exposiciones son de 1977, y desde entonces han recorrido todo el mundo (Italia, Bélgica, Croacia, Francia, Alemania, España, Brasil, Argentina, Japón o Estados Unidos). En sus obras nos encontramos en particular con iconografía hebraica y con los números indo-arábigos.

 

Considerado, al menos por los matemáticos, como un verdadero artista “pitagórico”. Un artista que lleva hasta el extremo la máxima pitagórica de que “el número es la esencia de todas las cosas”. Recordemos que Pitágoras y los pitagóricos soñaban con poder captar la esencia del universo bajo la forma de números enteros, imaginándose que mediante los mismos podían explicarse todos los misterios del universo, de todas las cosas.

En las obras de Tobia Ravà todo es número (y también símbolos hebreos). Las calles están formadas por números, los ríos, las paredes de las casas, los árboles, el suelo, el cielo, los puentes, las personas,… todo está construido por números. Es hacia el año 1996 cuando empieza a realizar cuadros de paisajes naturales, de paisajes urbanos, de interiores de casas, de mujeres,… realizados con números (y algún símbolo hebreo). Lleva esta técnica hasta el límite…

ECUACIONES APLICADAS A LA CURACIÓN DEL JAMÓN IBÉRICO

Ya sabemos que las Matemáticas tienen una infinidad de aplicaciones a muchos sectores. En esta entrada comentaremos una noticia publicada en el diario ABC de Sevilla.

 

Hasta el momento, el método que se usa para fijar cuándo una pieza de jamón debe pasar de una fase el proceso de producción a otra, por ejemplo del secadero a la maduración en bodega, se basa en la percepción de los expertos de cada industria, en función de us experiencia acumulada.

 

Ahora un grupo de investigadores del Instituto de la Grasa del CSIC de SEvilla (CSIC-Sevilla) han desarrollado modelos matemáticos para predecir la marcha y el momento óptimo de curación del jamón. 

Los investigadores han ajustado ecuaciones matemáticas para hacer un seguimiento «preciso» del comportamiento de las piezas. Así, con el análisis de parámetros como el perfil de la grasa y la pérdida de humedad, el método es capaz de predecir cuándo es necesario pasar el jamón a una nueva fase de su proceso individual de maduración.

Para obtener el modelo matemático, los investigadores han monitorizado un grupo de diez jamones durante todo el proceso de curación durante un periodo de tres años.

Se han instalado en cada pieza una serie de equipos que tomaban medidas de varios parámetros de forma continua, obteniéndose datos cada hora. De esta forma se ha realziado un seguimiento de los mismos jamones durante mucho tiempo.

Tras el análisis de los datos, los investigadores han estudiado la evolución de la fracción de lípidos del tejido adiposo subcutáneo del jamón ibérico durante el proceso de curado en seco. Asimismo, han determinado la generación de los denominados compuestos volátiles, responsables de los aromas del producto, y que los expertos han agrupado por familias.

El trabajo se ha publicado en la revista Food Research Internatioanl bajo el título "Evolution of volatile hydrocarbons from subcutaneous fat during ripening of Iberian dry-cured ham. A tool to differentiate between ripening periods of the process'.

 

Los investigadores han destacado que la información de sus modelos matemáticos permite «optimizar» los procesos de la industria cárnica. «Aportamos un modelo científico a una labor que antes se basaba en la experiencia humana. Si conocemos todo el recorrido de la pieza es más fácil localizar dónde se ha producido algún fallo, lo que beneficia a la trazabilidad y a la seguridad alimentaria», precisa León. 

 

Fuente: sevilla.abc.es

EL NÚMERO AUREO EN "LA CREACIÓN DE ADÁN" DE MIGUEL ÁNGEL

Según un último estudio de la revista científica Clinical Anatomy, el escultor, pintor y arquitecto Miguel Ángel hizo uso del número aúreo al realizar su obra "La creación de Adán" en la Capilla Sixtina.

"La creación de Adán" es un fresco en el techo de la Capilla Sixtina , pintado por Miguel Ángel alrededor del año 1511. Ilustra el episodio del Génesis en el cual Dios le da vida a Adán. 

Los hallazgos sugieren que la belleza y armonía que se aprecia en los trabajos de Miguel Ángel, no se deben exclusivamente a sus conocimientos sobre anatomía. El estudio estima que el artista sabía que las estructuras anatómicas que incorporan el "número de oro", ofrecen una mayor eficiencia estructural y, por lo tanto, usó este método para mejorar la calidad estética de sus trabajos.

"Creemos que este descubrimiento traerá una nueva dimensión para el gran trabajo de Miguel Ángel", afirmó el doctor Deivis de Campos, uno de los autores de la investigación.

Fuente: www.eluniversal.com.mx

TOBIA RAVA - Colección FACE

Una muestra de la obra del artista italiano Tobia Ravá. 

SIRI Y LAS MATEMÁTICAS. ¿CUÁNTO ES CERO ENTRE CERO?

SIRI es un asistente de voz para iphone. Tiene respuesta para casi todo y algunas de esas respuestas resultan curiosas. ¿Qué pasa sile preuntas cuánto es cero entre cero?

UN PODEROSO NÚMERO 0

La siguiente anécdota fue relatada por el escritor y divulgador matemático Charles Seife en su libro "El cero: biografía de una idea peligrosa".

El 21 de septiembre de 1997, el acorazado Yorktown bordeaba las costas de Virginia cuando quedó detenido en medio de las aguas. Este acorazado estaba preparado para resistir el ataque de un torpedo o la explosión de una mina, pero no estaba preparado para el ataque de un 0.

En el Yorktown se había instalado un nuevo programa informático que controlaba las máquinas. Por desgracia, nadie detectó la bomba que se había instalado y que representaba un 0 en los códigos, un 0 que debía haber sido borrado durante la instalación y que, sin saber el por qué, quedó escondido y olvidado en el código. 

Cuando el programa intentó dividir por 0 los 80.000 caballos de potencia del buque se originó el colapso del ordenador y los motores quedaron inutilizados. Tres horas fue lo que se tardó en reactivar los controles de emergencia del motor y poder llevar al buque al puerto más cercano. Los ingenieros tardaron dos días en extraer el 0 del programa y dejar el buque de nuevo operativo.

TRIGONOMETRÍA - LA FÓRMULA DE MOLLWEIDE

Habitualmente para la resolución de triángulos se suele recurrir al teorema del seno y al teorema del coseno. Ocasionalmente podemos usar también el teorema de la tangente.

Hoy hablaremos de la fórmula de Mollweide.

Las ecuaciones de Mollweide, del alemán Karl Mollweide, son dos ecuaciones que relacionan los lados y los ángulos de un triángulo. El interés de estas ecuaciones, a diferencia de las del seno y coseno, está en que en ella aparecen los seis elementos del triángulo: los tres lados y los tres ángulos.

Sean a, b, y c las longitudes de los tres lados del triángulo, y sean α, β, y γ los ángulos opuestos a cada uno de los lados respectivamente. Las fórmulas de Mollweide establecen que:

HUMOR MATEMÁTICO - REGLA DE TRES

LOS PITAGÓRICOS Y LAS MATEMÁTICAS

En el siglo VI a.C. Pitágoras y sus discípulos enseñaban que todo esta dispuesto según los números, aunque estos se circunscriben a los números enteros, y dentro de ellos, a los números naturales. Las fracciones se consideraban simplemente como ratios entre números naturales, por ello fue una decepción enorme cuando descubrieron que la raíz de 2, la hipotenusa de un cuadrado de lado la unidad, no podía expresarse como un ratio entre dos números naturales.

Los pitagóricos, según el testimonio de Anatolio, obispo de Leodicea hacia el año 280, fueron los primeros en utilizar el nombre de "matemáticas", que era considerada como "la Ciencia", lo cual es comprensible si se piensa que para ellos las matemáticas eran el conocimiento de los números y de las figuras geométricas, aspectos considerados a su vez como la esencia de la realidad.

Pitágoras y sus discípulos descubrieron la relación existente entre la distancia de una cuerda y el sonido que produce su tañido. Notaron que si una cuerda dada se acortaba a 1/2 de su longitud inicial, el tono producido era una octava mayor que el preliminar. De ahí que las cuerdas que mantienen la proporción 1:2 produzcan sonidos que conservan la armonía.

En cuanto al teorema que porporciona la relación de los tres lados de un triángulo rectángulo (la suma de loa cuadrados de los catetos al igual al cuadrado de la hipotenusa), teorema que lleva el nombre de Pitágoras, parece ser que éste se lo apropió de los babilonios, quienes ya lo aplicaban a la resolución de problemas. Los babilonios también conocían las ternas pitagóricas, esas iguadades de la forma x²+y²=z² que permiten duplicar cuadrados.

Lo que sí fue descubierto por los pitagóricos fua la representación triangular del 10, que denominaron tetraktys.

En cualquier caso, las ideas pitagóricas, la creencia de que el número lo permea todo, que todo se basa en los números, han sobrevivido hasta nuestros días y siguen inlfuyendo en el pensamiento actual, tanto en el científico como en el más propio del extrarradio de la racionalidad.

HUMOR MATEMÁTICO - CAMPO DE GOLF SOBRE CINTA DE MOEBIUS

MÁS DE 200 EXPERTOS EN MATEMÁTICAS SE REÚNEN EN CÁDIZ

Un total de 220 investigadores y docentes procedentes de Europa y América se reúnen estos días en Cádiz, en el XXIV Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones y XIV Congreso de Matemática Aplicada, que ayer se inauguró en la Facultad de Filosofía y Letras.

Este congreso internacional, que se desarrollará hasta el viernes 12, es el evento más importante que organiza, con carácter bienal, la Sociedad Española de Matemática Aplicada.

En sus vigésimo cuarta y duodécima ediciones intervendrán prestigiosos conferenciantes, con un significativo plantel de comunicaciones y un amplio número de sesiones especiales, donde se cubren temas de interés en la investigación matemática actual: Ecuaciones en derivadas parciales, ecuaciones diferenciales ordinarias, análisis numérico y simulación numérica; Control y optimización; Álgebra lineal numérica; Sistemas dinámicos y matemáticas aplicadas a la industria.

El profesor Alfio Quarteroni, de la École Polytechnique de Lausanne y Università Politécnico di Milano, "uno de los matemáticos más brillantes y de talla mundial", según el Comité Organizador, pronunció la conferencia de apertura Reduced order models: algorithms and applications, en la que explicó la relevancia de la transferencia de sus investigaciones en campos como la aeronáutica y la cirugía, entre otros.

HEXAEDROS (CUBOS) HASTA EN LA SOPA

El cubo o hexaedro es uno de los poliedros más utilizados a lo largo de la historia. 

La forma cúbica es común incluso en los concentrados de sopa. Los terrones cúbicos de azúcar son un clásico, pero que la sopa haya terminado con forma cúbica resulta sorprendente.

Se dice que el capitán Cooke en 1772 se llevó "sopas trasladables" en formas cúbica, pero la fecha clave fue en 1838. Ese año Carl Heinrich Knorr fundó una compañía que se dedicaba en un principio al café y que terminó especializándose en sopas compactadas que pudieran disolverse en agua caliente.

Knorr hizo primero sopas en tabletas, pero el éxito lo alcanzó con las sopas en forma de salchicha. Las sopas se cortaban a trozos, de forma similar al embutido, e incluso se comían a rodajas. La forma cúbica llegó en 1912 y, desde aquella época, muchas han sido las empresas que han producido cubos o tabletas para sopas.

La técnica utilizada, basada en comprimir, compactar, moler, granular y secar, es una actividad comercial aplicable a productos farmacéuticos, químicos o alimentarios.

UN NUEVO PROBLEMA DE MATEMÁTICAS INUNDA LAS REDES

En Reino Unido es necesario hacer una especie de selectividad para obtener el Certificado General de Educación Secundaria (GCSE), que es necesario para estudiar Bachillerato y acceder a la mayoría de trabajos.

La prueba, a la que se enfrentan estudiantes de entre 14 y 16 años, tiene preguntas estandarizadas. Y una de las que han caído este año en el examen de matemáticas ha causado una gran polémica entre los alumnos.

Este es su enunciado:

"Hannah tiene 6 caramelos naranjas y algunos caramelos amarillos. En total tiene n caramelos.
La probabilidad de que coja 2 caramelos naranjas es de ⅓.
Prueba que n²-n-90=0"

A los alumnos que se enfrentaban al examen les pareció tan difícil que no tardaron en quejarse en Twitter y hacer todo tipo de memes.

No se trata de un problema muy difícil, aunque puede resultar extraña el hecho de que se pida probar esa igualdad. Quizás hubiera resultado más común preguntar por el número de caramelos amarillos, aunque el desarrollo implicaría además resolver la ecuación, posiblemente estuvieran más acostumbrados a ese tipo de enunciado.

Analizamos a continuación la solución del problema.

Se trata de un problema de un experimeto compuesto.
La probabilidad de extraer el primer caramelo rojo sería de 6/n.
La probabilidad de extraer el segundo carmelo rojo, si el primero ha sido rojo es 5/(n-1).
La probabilidad de que los dos sean rojos será, por tanto, 6/n · 5/(n-1).
Si multiplicamos las fracciones la probabilidad es de 30/( n²-n)=1/3
Por tanto: n²-n-90=0.

Si resolvemos la ecuación las soluciones son n=10, n=-9. Tomando la solución positiva obtenemos que tiene en total 10 caramelos, 6 rojos y 4 amarillos.

CITAS CÉLEBRES: MATEMÁTICAS Y JUEGOS

"No hay ninguna rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real."

N. Lobachevsky

"Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida."

John von Neumann

"La vida merece ser vivida para jugar a los más bellos juegos y ganar en ellos."

Platón

"Aunque pocas cosas hay más interesantes que los pasatiempos, por lo que representan de desafío al ingenio y a la capacidad de razonar, la función que desempeñan estos juegos no es sólo recreativa; como señaló J. E. Littlewood, un buen pasatiempo matemático puede aportar más a la matemática que una docena de artículos mediocres."

Martin Gardner

"¿Dónde acaba el juego y empieza la matemática seria. Para muchos, la matemática, mortalmente aburrida, no tiene nada que ver con el juego. En cambio, para la mayoría de los matemáticos, nunca deja de ser un juego, aunque, además, pueda ser muchas otras cosas."

Miguel de Guzmán

"Las nueve décimas partes de las matemáticas, aparte de aquellas que tienen su origen en las necesidades de orden práctico, consisten en la resolución de adivinanzas."

Jean Dieudonné

"La competencia es la madre de la ciencia... y de la vida. Competencia y cooperación nos hacen quienes somos."

Erwin Neher

EL AZAR: LAS BARAJAS

Un instrumento utilizado habitualmente para generar situaciones de azar (de ahí la multitud de juegos diferentes) son las barajas. Hay dos grandes tipos, las llamadas española e inglesa. Ambas han calado hondo en el imaginario colectivo, porque son, como todos los grandes juegos, modelos de situaciones sociales reconocibles.

La baraja española es una estilización de la sociedad medieval, con cuatro palos, oros, copas, espadas y bastos, que representan a los cuatro estamentos fundamentales de la misma: la burguesía (o comerciantes, con el oro de las monedas); el clero (con la copa de las celebraciones litúrgicas); la nobleza (con la espada de los caballeros) y el campesinado (con el basto o la estaca que usan en sus trabajos manuales). Tiene 40 cartas, con 10 en cada palo, de las que 3 (sota, caballo y rey) son las figuras.

La baraja inglesa es una estilización del paso del tiempo, concretada en lo que pasa en un año. Los 4 palos representan las 4 estaciones; como en cada uno hay 13 cartas, en total son 4 · 13 = 52 cartas, como las 52 semanas de un año. Si se suman los números de cada palo (1+2+3+....+12+13=91), se multiplica por los cuatro palos y se le suma el comodín se obtiene 365 (4 · 91 + 1 = 365), que con los 365 días del año.

EL ORIGEN DEL NÚMERO e

La constante e fue hallada por el suizo Jakob Bernoulli al estudiar el siguiente problema de interés compuesto:

Si se invierte 1 € a un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, al cabo del periodo se obtendrán 2 €. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés por 2 (el 50% semestral), la cantidad obtenida es 1 € multiplicado dos veces por 1.5, es decir:

Si se pagan los intereses en 4 periodos trimestrales y dividimos por 4 la tasa de interés anual (25% trimestral), al cabo del año se obtendrán:

En caso de pagos mensuales el capital acumulado asciende a:

Al aumentar el número de periodos de pago n veces (que tiende a crecer indefinidamente) y dividir por n la tasa de interés en el periodo, la cantidad total obtenida por 1 € al cabo del año sería

Dando valores crecientes a n, Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima a:

De aquí que en matemática financiera el número e se defina como el capital límite acumulado mediante una inversión de 1 € con una tasa de interés compuesto del 100% anual con un pago de intereses de forma continua. El primer matemático que dio esta constante el nombre de e fue Leonard Euler en 1727.

LOS CÓDIGOS DE LOS COLORES

El desarrollo científico y tecnológico ha creado varios sistemas para codificar los colores que percibimos. Básicamente se utilizan dos sistemas distintos: el RGB y el CMYK.

El sistema RGB (R=RED, G=GREEN, B=BLUE) es el que se usa para definir el color de las imágenes que se utilizan en los monitores del ordenador y de otro tipo de pantallas. Cada uno de los colores se define como una mezcla aditiva de intensidades de los tres colores primarios: rojo, verde y azul, cuya suma es la luz blanca. Combinando distintas intensidades de cada uno de ellos, se obtiene un color diferente de la gama posible. Para indicar la proporción de cada uno de los tres colores básicos, se asigna a cada uno un valor de 0 a 255. La intensidad de cada uno de los colores básicos o monocromáticos serán (255, 0, 0) para el rojo, (0, 255, 0) para el verde y (0, 0, 255) para el azul. El blanco tendría el valor máximo (255, 255, 255) y el negro el valor mínimo (0, 0, 0).

La figura muestra la mezcla de colores con Photoshop.

El sistema CMYK utiliza tres colores básicos, además del negro. Se añaden a un fondo lumnimoso (blanco) y reducen la luz que se refleja. Es el método que utiliza, por ejemplo, las impresoras. Los tres colores básicos son C=Cyan (cian), M=Magenta (magenta), Y=Yellow (amarillo) y K=Black (negro). Las escalas de color suelen utilizarse con una numeración de 0 a 100. Hay, por tanto, 101 opciones para cada tonalidad. Mientras que en el sistema anterior el negro era la ausencia de color y el blanco la suma de colores, aquí es al contrario; el blanco es la ausencia de color y el negro la suma de los tres colores básicos o el negro en sí.

MUERE JOHN NASH, UNA MENTE MARAVILLOSA

Una muerte nada predecible para el gran matemático John Nash, experto en teoría de juegos y en ecuaciones diferenciales parciales. El hombre que se aferró a su inteligencia para pelear con la terrible enfermedad que padecía, la esquizofrenia, falleció el sábado por la noche a los 86 años en un accidente de tráfico en Nueva Jersey (Estados Unidos). Viajaba en un taxi junto a su mujer que también murió en el siniestro.

John Forbes Nash, premiado con el Nobel de Economía en 1994, acababa de recibir, el pasado marzo, el Premio Abel de la Academia Noruega de Ciencias y Letras, considerado el Nobel de las matemáticas. Sus aportaciones sobre ecuaciones no lineales en derivadas parciales han tenido enorme repercusión en diversos ámbitos científicos, desde la química y la física cuántica, a la biología de sistemas o las finanzas.

Poco antes de cumplir los 30 años, en uno de sus momentos más creativos, le fue diagnosticada la esquizofrenia contra la que luchó hasta el día de su muerte, incluso promoviendo actividades benéficas, junto a su mujer, para dar a conocer la realidad de esta enfermedad.

La periodista y profesora de la Universidad de Columbia Sylvia Nasar, experta en divulgación científica, publicó el libro sobre su vida Una mente prodigiosa), que se llevó al cine en 2001, en una cinta de gran éxito protagonizada por Russell Crowe.

UNA APP PARA RESOLVER PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS

Al avance de las calculadoras hay que añadir las aplicaciones que continuamente van apareciendo para smarphone.

Hoy comentaremos algunos detalles de PhotoMath.

PhotoMath ayuda a sus usuarios a resolver ecuaciones y otros problemas de matemáticas "leyendo" las preguntas con la cámara de un smartphone.

Pero una respuesta no es todo lo que conseguirás de esta aplicación gratuita. PhotoMath también contiene una guía con explicaciones paso a paso de cómo resolver cada problema, una característica que algunos consumidores han elogiado por ser especialmente útil para los estudiantes, padres y educadores.

Si no puedes descifrar la solución y esta aplicación te lo explica luego paso a paso, es un buen uso para la gente que intenta aprender matemáticas.

PhotoMath actualmente admite aritmética básica, fracciones, números decimales, ecuaciones lineales y varias funciones como logaritmos. En las sucesivas actualizaciones van añadiendo nuevas operaciones a las nuevas versiones porque con el de facilitar el aprendizaje de las matemáticas.

Como principal inconveniente está el hecho de que no admite texto escrito a mano, sólo problemas impresos de los libros de matemáticas.

UN PROBLEMA QUE RESUELVEN NIÑOS DE 8 AÑOS

Esta prueba de matemáticas pasó por Singapur y Hong Kong antes de desembarcar en Vietnam, donde la 'sufren' en estos días. El problema no es ya su dificultad, sino que está dirigida a niños de ocho años que, para humillación del resto de los mortales, lo están resolviendo. 

El objetivo es llenar los huecos que faltan en la serpiente con números 1-9. Sólo se le permite utilizar cada número una vez. No hay matemáticas "complicadas" en él, solo suma, resta, multiplicación y división. ¿Te atreves?

Señalar que las operaciones hay que realizarlas en el orden en que aparecen, no teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones.

 

Hay hasta 9! = 362.880 combinaciones para la colocación de los nueve dígitos diferentes en nueve ranuras. A continuación, una de las soluciones: